TEORIA DE COLAS


Tambien conocida como "Lineas de Esperas". Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema[1]. Un sistema de cola tiene tres elementos:

1. Sistema de la población (Entidades).

2.Sistema de Cola.

3.Sistema de Servicio (Servidor).

Esquema Líneas de Espera
En el sistema Las llegadas deben estar con distribución poisson y los tiempos de servicio deben estar distribuidas exponencialmente.

"La condición para que exista cola es cuando el número de entidades supera el numero de servidores".

PROCESO DE LLEGADA

Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Cada llegada ocurre aleatoriamente e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá[2]. La distribución que proporciona una buena descripción del patrón de llegadas es la de Poisson. La función de probabilidad es:

Donde:
λ= La cantidad de llegadas en el periodo.
x= La cantidad promedio de llegadas por periodo.


PROCESO DE SERVICIO

El proceso de servicio de un sistema de líneas de espera se especifica una distribución de probabilidad la cual rige el tiempo de servicio a un cliente. La distribución de probabilidad para el tiempo de servicio es la exponencial[3]. La probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo de duración t es:

Donde:
µ= La cantidad de unidades que pueden servirse por periodo.


CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA DE COLA

1. Sistema de una sola etapa.

-Una línea de espera(cola), un servidor (o un canal)


-Una línea de espera(cola), múltiples servidores (o múltiples canales)

-Varias líneas de espera (cola), múltiples servidores (o múltiples canales)
"En los sitemas de múltiples canales o servidores, la cola unificada (una sola línea de espera) es mejor que el de varias colas". 


2. Sistema de Multietapas. Es cuando hay varios sistemas interconectados.
NOTACIÓN KENDALL-LEE

Kendall y Lee Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera: (a/b/c)(d/e/f)[4].
a) Distribución de probabilidad del tiempo de llegadas.
b) Distribución de probabilidad del tiempo de servicio.
c) Número de servidores o canales.
d) Orden de atención de los cliente.
e) Número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo.
f) Número de clientes potenciales del sistema de línea de espera.
 Notación Kendall-Lee

SISTEMA M/M/1
- Proceso de Llegada Poisson.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.
- Existe un solo servidor.
-Cola de capacidad infinita y población infinita.

Características Operativas de Estado Estable de una Linea de Espera
SISTEMA M/M/k
- Los clientes llegan de acuerdo a la distribución poisson.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.
- Existen k servidores.
-Existe una población infinita e infinitas colas.

Características Operativas de Estado Estable de una Linea de Espera

ECUACIONES DE LITTLE
Little muestra que: el número promedio de unidades en la línea de espera (Lq), el número de unidades en el sistema (Ls), el tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera (Wq) y el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema (Ws) estan relacionadas en toma general y se aplican a diversos modelos de líneas de espera independiente.

Primera Ecuación: El número de unidades en el sistema es igual a la tasa promedio de llegadas por el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema:
Igualmente, el número promedio de unidades en la cola es igual a la tasa promedio de llegadas por el tiempo promedio que una unidad pasa en la cola:
Segunda Ecuación: El tiempo promedio en el sistema es igual al tiempo en espera mas el tiempo promedio de servicio:
La importancia de las ecuaciones de little es que se aplican a cualquier modelo de espera independientemente de que si las llegadas siguen una distribución poisson o no y si los tiempos de servicios siguen una distribución exponencial o no.

MODELO DE COSTO DE UN M/M/K
Es un costo unitario por unidad de tiempo.

CT= Costo de Espera/Período + Costo de Servir/Período
CT= Ls.Cw/Período + K.Cs/Período


El Siguiente documento adjunto muestra una serie de ejercicios propuestos de los Sistemas de Cola para la aplicación de todo lo aprendido en esta sección.



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[1] http://www.unamerida.com/archivospdf/337%20Lectura6.2.pdf
[2] Métodos Cuantitativos para los Negocios, David R. Anderson.Pág 601
[3] Métodos Cuantitativos para los Negocios, David R. Anderson.Pág 603
[4] http://www.unamerida.com/archivospdf/337%20Lectura6.2.pdf
[5] Métodos Cuantitativos para los Negocios, David R. Anderson.Pág 605,622